Analogico Digitale: andata e ritorno - 8

di Mario Di Cola e Marta Furlan

Salve a tutti e ben tornati. Questa volta siamo arrivati proprio alla fine di questa serie di articoli. Come ho già accennato la volta scorsa, lo scopo di queste pubblicazioni è ovviamente quello di offrire una panoramica introduttiva sul funzionamento dei convertitori AD e DA, per cui ci fermiamo prima che le cose diventino complesse al punto da travalicare l'intento divulgativo.
Concludiamo quindi il nostro cammino descrivendo la tecnica di conversione attualmente più in uso: la conversione Sigma Delta.

Convertitori a singolo bit (1 bit ADC)
La tecnica più diffusa oggigiorno nel campo dell'Hi Fi e della riproduzione musicale è quella che prevede l'utilizzo di single bit ADC e DAC. Questa fa parte della famiglia delle tecniche multi-rate dove, per vari motivi, una più alta frequenza di campionamento può essere scambiata con un più basso numero di bit. Portando questo processo all'estremo si può ridurre il tutto all'uso di un solo bit per ogni campione. Il cardine di quest'idea è nell'utilizzo di un Delta modulator, un oggetto nel quale vi è in ingresso il segnale da campionare ed in uscita uno stream di “1” e di “0”. Un comparatore in ingresso decide chi ha la tensione maggiore tra il segnale e una carica di riferimento accumulata in un condensatore.

Il risultato della decisione, sotto forma di 1 e 0, una volta sincronizzato costituisce direttamente il segnale in uscita, che viene parallelamente ri-utilizzato per pilotare un interruttore elettronico il quale inietta una piccola quantità di carica positiva nel condensatore se il segnale valeva di più della tensione del condensatore, facendo aumentare ulteriormente la tensione ai capi di questo. Se il risultato fosse stato inverso, allora l'interruttore avrebbe iniettato carica negativa facendo diminuire tale tensione della stessa quantità. In pratica si ottiene che la tensione ai capi del condensatore insegue, di fatto, il livello del segnale. Guardando bene le caratteristiche dello stream d'uscita si vede che quando il valore del segnale è in salita, il segnale è composto principalmente da “1” mentre quando è in discesa prevale il contenuto di “0”. Se invece il segnale è stazionario, il valore dell'uscita si alterna tra 1 e 0.

Figura 1 A&B: Diagramma di timing e confronto tra la forma d'onda del segnale e la tensione ai capi del condensatore in un Modulatore Delta. A destra lo schema a blocchi del circuito.

Emerge immediatamente un possibile limite di questo sistema: se il segnale sale troppo velocemente il circuito lo insegue ma con una velocità limitata dal fatto che il valore sul condensatore può crescere solo di una “iniezione” di carica per ogni ciclo di clock. Esso quindi avrà un limite massimo di slew rate che non gli permetterà di inseguire segnali più veloci del suo limite massimo di crescita. Questo limite fa emergere chiaramente il necessario compromesso tra limite di slew rate, dimensione della quantizzazione e quantità di dati prodotti. Ci possono essere degli artifici per migliorare in maniera variabile la reazione del circuito in condizione di limitazione per slew rate come nel CVSD (Continuously Variable Slope Delta) modulator, ma la cosa funziona solo per applicazioni di tipo telefonico o simile.

Il convertitore Sigma-Delta
Nell'approccio Sigma-Delta, invece, si risolvono brillantemente questi problemi combinando sapientemente elettronica analogica ed algoritmi di processamento.
Esso è una naturale evoluzione di un modulatore Delta e le attuali realizzazioni contengono una miriade di furbizie ed ottimizzazioni. Noi ovviamente parliamo della struttura di base solo per spiegare l'idea che c'è dietro. L'idea è quella di utilizzare un modulatore Delta modificandolo in modo che il comparatore  abbia qui come riferimento la massa e che il segnale in ingresso influenzi direttamente la carica del condensatore.

In questo caso, dunque, lo stream d'uscita è utilizzato ancora per sincronizzare gli iniettori di carica ma con lo scopo inverso, vale a dire per contrastare le variazioni di carica ai capi del condensatore così da mantenere la sua tensione più vicina possibile agli 0 Volt. Accade dunque che, se l'ingresso è positivo, l'uscita digitale avrà una prevalenza di “1”. L'eccesso di 1 in uscita tenderà ad iniettare molta carica negativa nel condensatore in modo da riportare la sua carica a zero. Il contrario accade se, viceversa, il segnale in ingresso è negativo. La relativa frequenza di 1 e 0 nell'uscita digitale è dunque qui in relazione con il livello del segnale e non con la sua forma, come accadeva nel modulatore Delta.

Figura 2: Schema a blocchi di un convertitore Sigma Delta con i due tipi di realizzazione dell'uscita: con il contatore, oppure con filtro digitale e decimatore (parte tratteggiata).

Per esempio, per realizzare con questo circuito un ADC a 12 bit, basta mandare il flusso di dati in un contatore e contare quanti “1” ci sono in uno stream di 4096 campioni. Il numero digitale 4095 corrisponderebbe al valore massimo positivo possibile mentre lo 0 corrisponderebbe al minimo negativo. Il numero 2048 invece corrisponderebbe al valore 0 Volt. Da questo deriva il nome che nella forma più logica sarebbe Delta-Sigma: un modulatore Delta seguito da un sommatore. L'uscita di questo tipo di circuito è davvero molto semplice da ritrasformare in segnale analogico; un semplice filtro come una cella RC è gia più che sufficiente. I livelli logici alti e quelli bassi tendono a mediarsi tra loro in modo da dare il valore corretto di tensione in uscita. Ad esempio, supponiamo che gli “1” e gli “0” siano rappresentati rispettivamente da 5 e da 0 Volt: se per un segmento di stream avessimo l'80% di “1” e il 20% di “0”, allora il risultato in uscita sarebbe 4 Volt. È dunque evidente che per generare l'uscita digitale è possibile utilizzare, invece di un contatore, un semplice filtro digitale (un FIR ad esempio, come già detto) il quale fornisce in uscita una versione numerica della forma d'onda in ingresso; poi, decimando, si scartano la maggior parte dei campioni. Il risultato è perfettamente equivalente ad un segnale ottenuto con il campionamento diretto della forma d'onda originale.

I convertitori Sigma-Delta, per via del loro principio di funzionamento, hanno qualche limitazione. Quella più evidente è data dal fatto che non è possibile sapere con esattezza quando è stato preso il singolo campione e questo pone delle limitazioni nell'utilizzo con segnali di tipo Time Domain Encoded (apparecchiature elettromedicali, ad esempio).

Un altro limite lo s'incontra nell'utilizzo in sistemi che richiedono di “multiplexare” il loro ingresso, in altre parole quando si vogliono convertire più segnali con un solo convertitore, a turno. Questo perché il convertitore non riesce istantaneamente a liberarsi dei dati relativi al precedente segnale.
I convertitori Sigma-Delta sono tuttavia di particolare utilità nell'audio, dove i segnali sono invece del tipo Frequency Domain Encoded: in questo campo, le loro piccole limitazioni non hanno effetti percettibili.

Conclusioni
Dobbiamo necessariamente arrestare qui il nostro cammino poiché da ora in avanti la strada inizierebbe ad andare troppo in salita e, come già detto, ci allontaneremmo dagli scopi divulgativi della rivista. Su questo campo, del resto, anche i “testi sacri” non la possono dire tutta in quanto “da queste parti” la ricerca è estremamente attiva e molti aspetti sono ancora tutti da esplorare. Il know how generale è costantemente aggiornato e sorpassato giorno per giorno dalle singole aziende costruttrici, da cui è ovvio aspettarsi che non ci vengano a raccontare quante sofisticazioni e furbizie sia necessario adottare per migliorare queste tecnologie. Speriamo invece che tutto questo sia servito ad incuriosirvi ed a stimolare qualcuno nell'approfondire l'argomento. Una possibile fonte d'approfondimento sull'elaborazione numerica dei segnali può essere proprio il testo, più volte citato, “The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing” di Steven W. Smith, da cui abbiamo largamente attinto, anche e soprattutto per quanto riguarda le illustrazioni. Buona lettura.